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特征值与对角化
线性变换与矩阵
向量空间上的线性变换 $T$ 在选定一组基以后可以写成矩阵 $A$,矩阵乘法就是变换的复合。
特征值
特征向量是变换以后方向不变的向量:
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$$Av=\lambda v,\qquad v\ne0.$$
$(A-\lambda I)v=0$ 有非零解,当且仅当
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$$\det(A-\lambda I)=0,$$
这叫特征方程。解出特征值以后,还要回到 $(A-\lambda I)v=0$ 求出每个特征值的特征空间。
对角化和它的限制
若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量,把它们排成 $P$,就有
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$$A=PDP^{-1},$$
$D$ 是特征值组成的对角阵。在这组基下变换只是沿各个方向伸缩。
但有特征值不等于能对角化。例如
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$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$
只有特征值 1,特征空间却只有一维,凑不出两个无关的特征向量,在实数和复数上都不能对角化。处理这种情形的是 Jordan 标准形。
一个特征值只有 0 和 1 的例子:正交投影矩阵。
用到它的地方
- 知识库 正交投影矩阵
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。