知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
闭而不恰当的角度形式
ω = (−y dx + x dy)/(x²+y²) 满足 P_y = Q_x,为什么绕原点一圈积分不是 0?
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$$\oint_{x^2+y^2=1}\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2} = 2\pi$$
这个形式是闭的(P_y = Q_x),绕原点一圈的积分却是 2π,所以它在去掉原点的平面上不是任何单值函数的全微分。
有哪些证法
它在局部就是 dθ。绕一圈角度增加 2π,点却回到原处,整个去心平面上没有单值连续的 θ。障碍来自定义域里的洞:单连通区域上闭的 1-形式一定恰当。
- 验证闭,再沿单位圆积分:P_y = Q_x 直接算;单位圆上 x=cos t, y=sin t
验证闭,再沿单位圆积分
用到:极坐标。
第 1 步 直接求偏导(✓ 已数值核对)
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$$P=-\frac{y}{x^2+y^2},\ Q=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad P_y=Q_x=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$
第 2 步 x=cos t,y=sin t,dx=−sin t dt,dy=cos t dt,x²+y²=1(✓ 已数值核对)
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$$\oint\omega=\int_0^{2\pi}\bigl[(-\sin t)(-\sin t)+\cos t\cos t\bigr]dt=2\pi$$
第 3 步 梯度定理:全微分的闭合曲线积分为 0,矛盾(✓ 已数值核对)
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$$\omega=df\ \Rightarrow\ \oint\omega=0\ne2\pi$$
用到它的地方
- 知识库 闭形式、恰当形式与庞加莱引理
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 5 个数值核对,5 个通过;每一步都有核对。