闭形式、恰当形式与庞加莱引理

逆问题

给定 1-形式 $\omega=P\,dx+Q\,dy$,有没有 $f$ 使 $f_x=P,\ f_y=Q$?若有,且 $P,Q$ 连续可微,混合偏导相等给出

满足这个条件的叫闭形式,能写成 $df$ 的叫恰当形式。恰当 ⇒ 闭;反过来要看定义域。

求原函数

$\omega=(2xy+3)\,dx+(x^2+2y)\,dy$。先验证 $P_y=2x=Q_x$。对 $x$ 积分:$f=x^2y+3x+h(y)$;对 $y$ 求偏导与 $Q$ 比较:$x^2+h'(y)=x^2+2y$,$h=y^2+C$。所以 $f=x^2y+3x+y^2+C$。

定义域有洞是什么意思

平面开区域单连通:任何闭合曲线都能一直留在区域内连续地缩成一点。整个平面、实心圆盘是单连通的;圆环、去掉原点的平面 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 不是。「有洞」是形象的说法,严格的条件是闭合路径能不能收缩;维数也有关系:$\mathbb R^3\setminus\{0\}$ 是单连通的。

反例见 闭而不恰当的角度形式:$\omega=\dfrac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$ 是闭的,绕原点一圈积分却是 $2\pi$。它在局部是 $d\theta$,但在整个去心平面上没有单值连续的角度函数 $\theta$。一般地 $\oint_\gamma\omega=2\pi\,\mathrm{Wind}(\gamma,0)$,$\mathrm{Wind}$ 是绕数。

庞加莱引理

用外微分 $d$ 说:$d\omega=0$ 是闭,$\omega=d\eta$ 是恰当;恒有 $d^2=0$,所以恰当必闭。

庞加莱引理:在星形开区域上(存在一点,到区域内任何点的线段都在区域里),任何正次数的闭形式都恰当。对 1-形式还可以推广到单连通开区域;对高次形式,单连通不够。

为什么和路径有关:试着定义 $f(p)=\int_a^p\omega$。两条路径 $\gamma_1,\gamma_2$ 的差是一个闭合路径上的积分:

所有闭合积分都为零时 $f$ 才与路径无关,然后用短线段可以证明 $df=\omega$。

第一 de Rham 上同调 $H^1_{\mathrm{dR}}(D)$ 是「闭 1-形式模掉恰当 1-形式」,量的正是局部可积的信息在整体上遇到的障碍:$H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb R^2)=0$,$H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb R^2\setminus\{0\})\cong\mathbb R$。

和 Jacobian 的联系

把向量场 $A$ 看成 $\omega=\sum A_i\,dx_i$。$A=\nabla f$ 时,$A$ 的 Jacobian 是 Hessian,混合偏导可交换,所以对称。反过来,在单连通开区域上,$A\in C^1$ 且 Jacobian 对称,就存在势函数:

用到它的地方

• 知识库 梯度定理:全微分的曲线积分只看端点
• 知识库 Jacobian:局部线性近似与体积缩放
• 知识库 梯度、散度、旋度与积分定理

核对

这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。