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梯度、散度、旋度与积分定理
对三维向量场 $F=(F_x,F_y,F_z)$：
- 梯度 $\nabla f$ 将标量场变成向量场，指向函数增长最快的方向。
- 散度 $\nabla\cdot F=\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$，刻画单位体积的净流出趋势。
- 旋度 $\nabla\times F$ 刻画局部环流的方向与强度。
- Laplacian $\Delta f=\nabla\cdot(\nabla f)=\sum_i\partial^2_{x_i}f$。
例如 $f(x,y)=x^2+y^2-1$，则 $\nabla f=(2x,2y)$，为圆周上的法向量；$F(x,y)=(x,y)$ 的散度为 $2$。
如果 $F$ 在闭合区域及其边界上足够光滑，则 Gauss 散度定理：
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$$\iiint_V\nabla\cdot F\,dV=\iint_{\partial V}F\cdot n\,dS.$$
Stokes 定理将曲面的旋度通量与边界环流联系起来：
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$$\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS=
\oint_{\partial S}F\cdot dr.$$
须正确选取一致的边界方向。对含奇点的场，不可直接忽略区域内的奇点并套用这些定理，例如 $F(r)=r/\|r\|^3$ 在 $r=0$ 未定义。
这两条定理和 梯度定理、闭形式与恰当形式 是同一件事的不同维数:内部的导数积分,等于边界上的积分。
用到它的地方
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。