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梯度定理:全微分的曲线积分只看端点
设 $\gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb R^n$ 是分段光滑曲线,从 $a$ 到 $b$,$f$ 在曲线附近 $C^1$。由链式法则
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$$\frac{d}{dt}f(\gamma(t))=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\gamma(t))\,x_i'(t),$$
所以
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$$\int_\gamma df=\int_\alpha^\beta\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\,dt=f(b)-f(a),$$
最后一步就是 牛顿–莱布尼茨公式。推论:曲线闭合时 $\oint_\gamma df=0$。
例:$f(x,y)=x^2+y^2$,$df=2x\,dx+2y\,dy$。从 $(0,0)$ 到 $(2,1)$,不管走哪条分段光滑的路径,
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$$\int_\gamma(2x\,dx+2y\,dy)=5.$$
反过来,给定一个 1-形式,它是不是某个 $f$ 的 $df$,见 闭形式、恰当形式与庞加莱引理。
用到它的地方
- 知识库 牛顿–莱布尼茨公式为什么成立
- 知识库 偏导数、梯度与全微分
- 知识库 梯度、散度、旋度与积分定理
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。