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牛顿–莱布尼茨公式为什么成立
若 $F'=g$ 且 $g$ 连续,则
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$$\int_a^b g(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
证明:中值定理 + 裂项相消 + 黎曼和
分割 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$。由拉格朗日中值定理,每一小段上存在 $\xi_i\in(x_{i-1},x_i)$,
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$$F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(\xi_i)(x_i-x_{i-1}).$$
全部相加,左边中间项抵消:
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$$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n F'(\xi_i)\,\Delta x_i.$$
右边是一个黎曼和。$F'$ 连续,分割的最大宽度趋于零时它趋于 $\int_a^bF'(x)\,dx$。
- 中值定理把一小段上的函数变化写成「某处的导数 × 长度」;
- 裂项相消把所有小段的变化化成端点差(离散版本是 望远镜求和);
- 黎曼和的极限把局部变化的累加变成定积分。
另一个方向
$g$ 连续时,令 $G(x)=\int_a^x g(t)\,dt$,则
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$$G'(x)=\lim_{h\to0}\frac1h\int_x^{x+h}g(t)\,dt=g(x).$$
累积出来的函数,它的变化率还原成原来的函数。原函数只在相差一个常数的意义下唯一。
多元的推广是 梯度定理。
用到它的地方
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。