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偏导数、梯度与全微分
偏导数
$f(x,y)=x^2+3xy+y^2$。对 $x$ 求偏导时把 $y$ 当常数,反之亦然:
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$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3x+2y,
\qquad
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.$$
几何上,$z=f(x,y)$ 是一张曲面,两个偏导数是沿两个坐标轴方向切线的斜率。它们只看这两个方向。
梯度与方向导数
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$$\nabla f=\begin{pmatrix}\partial f/\partial x\\ \partial f/\partial y\end{pmatrix}.$$
$f$ 可微时,沿单位向量 $\mathbf v$ 的方向导数是 $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot\mathbf v$。
全微分
可微函数微小变化的一阶部分是
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$$df=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i,
\qquad
f(\mathbf x+\mathbf h)-f(\mathbf x)=\nabla f(\mathbf x)\cdot\mathbf h+o(\|\mathbf h\|).$$
$df$ 不只是把偏导数形式地加起来,它是一个作用在微小位移 $\mathbf h$ 上的线性映射——导数是局部线性近似 在多元时的样子。偏导都存在不保证可微。
沿曲线积分 $df$ 只取决于端点,见 梯度定理。向量值映射的全微分是 Jacobian 矩阵。
梯度垂直于等值面
沿等值面的切向移动 $h$,函数值一阶不变,所以方向导数 $\nabla f\cdot h=0$:梯度和等值面的法向平行。例如 $f(x,y)=x^2+y^2-1$,$\nabla f=(2x,2y)$ 就是圆周的法向。这是 拉格朗日乘子 的出发点。二阶的部分见 Hessian。
用到它的地方
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。