导数是局部线性近似

是一个 ε-δ 意义下的极限。它存在,等价于

也就是说,可导的本质是在一点附近能用一条直线逼近,误差比 $h$ 高阶。

链式法则与参数曲线

复合函数 $y=f(x(t))$ 的导数是 $dy/dt=f'(x)\,dx/dt$。若 $dx/dt\ne0$,参数曲线上

处理隐函数、反函数和参数曲线时,都要检查分母不为零,以及在所讨论的区间里变量能不能合法地反解。

到高维:Fréchet 可微

一元的 $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(|h|)$ 到高维变成

$Df(a)$ 是一个线性映射;标量函数时它就是梯度和位移的内积。各个偏导数都存在,并不保证这个近似成立——偏导只看坐标轴方向,可微要求所有方向一起被同一个线性映射逼近。

再往下一阶就是 Taylor 展开。

一个常用的充分条件:各偏导在一点的某个邻域里存在,并且在这一点连续,那么 $f$ 在这一点可微。

用到它的地方

• 讲义 多元微积分、向量分析与重积分
• 知识库 极限的 ε-δ 定义
• 知识库 Jacobian:局部线性近似与体积缩放
• 知识库 偏导数、梯度与全微分
• 知识库 Taylor 展开

核对

这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。