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Jacobian:局部线性近似与体积缩放
Jacobian 矩阵:多元的导数
$F=(f_1,\ldots,f_m):\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 的 Jacobian 矩阵是 $m\times n$ 的偏导数矩阵 $J_F=(\partial f_i/\partial x_j)$。可微就是
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$$F(a+h)=F(a)+J_F(a)h+o(\|h\|):$$
足够小的尺度上,非线性映射可以用线性变换 $J_F(a)$ 近似(导数是局部线性近似)。例如 $u=x^2+y,\ v=xy$:
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$$J_F=\begin{pmatrix}2x&1\\y&x\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}=J_F\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}.$$
行列式:局部体积的缩放
$m=n$ 时,线性变换的行列式绝对值是体积的缩放倍数;光滑映射在局部也是这样:
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$$dV_{\text{new}}=|\det J_F|\,dV_{\text{old}}.$$
$|\det J_F|>1$ 放大,$<1$ 缩小,$\det J_F<0$ 翻转取向,$\det J_F=0$ 把至少一个方向压扁了,那里不能直接套局部微分同胚的换元定理。例:$u=2x+y,\ v=x+3y$,$\det J=5$,面积放大 5 倍。
多重积分换元
$F:D\to F(D)$ 是光滑的一一变换、行列式不为零时
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$$\int_{F(D)}g(u)\,du=\int_Dg(F(x))\,|\det J_F(x)|\,dx,
\qquad
\iint g\,du\,dv=\iint g\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|dx\,dy.$$
$\partial(u,v)/\partial(x,y)$ 是行列式的记号,不是分数。被积函数、积分区域、面积元三样要一起换。
极坐标为什么要乘 r
$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$,
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$$\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}=r,\qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta.$$
几何上,极坐标的小扇形径向厚 $dr$、切向弧长约 $r\,d\theta$。圆面积 $\int_0^{2\pi}\!\int_0^R r\,dr\,d\theta=\pi R^2$。$r=0$ 处 Jacobian 退化,但那只是一个零面积的点,不影响积分。
链式法则
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$$J_{G\circ F}(x)=J_G(F(x))\,J_F(x),\qquad \det J_{G\circ F}=\det J_G\cdot\det J_F:$$
连续两次换坐标,局部体积的缩放倍数相乘。
两种用途
- 行列式:映射对局部体积缩放多少——换元公式;
- 对称性:向量场是不是某个势函数的梯度——见 闭形式、恰当形式与庞加莱引理。
用到它的地方
- 讲义 多元微积分、向量分析与重积分
- 知识库 闭形式、恰当形式与庞加莱引理
- 知识库 偏导数、梯度与全微分
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。