知识库 · 文字讲解,AI 整理
Taylor 展开
若 $f$ 足够光滑,
LaTeX
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x).$$
$n=1$ 就是 导数给出的线性近似,Taylor 展开是把它推到高阶。
常用的展开($x\to0$)
LaTeX
$$\begin{aligned}
e^x&=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3),\\
\sin x&=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\\
\ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4),\\
\arctan x&=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5).
\end{aligned}$$
用它算极限
比较无穷小时,分子分母都要展开到第一个不被抵消的阶。把每个函数都换成一阶等价无穷小,在差式里会出错:比如 $\sin x-x$,一阶全部抵消,真正起作用的是 $-x^3/6$。
用到它的地方
- 知识库 导数是局部线性近似
- 知识库 Hessian 与多元二阶近似
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。