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极限的 ε-δ 定义
直观上,$\lim_{x\to a}f(x)=L$ 是说输入靠近 $a$ 时,输出可以任意接近 $L$。严格的写法是
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$$\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad
0<|x-a|<\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.$$
$\delta$ 可以依赖 $\varepsilon$,但不能依赖后来才选的 $x$。这样「趋近」就变成了一句可以检验的话。数列极限是同一个想法:把邻域条件换成「存在 $N$,使得所有 $n>N$」。
例:$\lim_{x\to2}x^2=4$
$|x^2-4|=|x-2|\,|x+2|$。先限制 $|x-2|<1$,于是 $|x+2|<5$;再取 $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$,就有 $|x^2-4|<5\delta\le\varepsilon$。
先用一个粗的限制换来局部有界,再控制误差——乘积和商的极限法则都是这个结构。
导数就是用这个定义写出来的一个极限,见 导数是局部线性近似。
用到它的地方
- 知识库 导数是局部线性近似
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。