知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对

Beta 函数与 Γ 的关系

∫₀¹ t^{p−1}(1−t)^{q−1} dt 能不能用阶乘写出来?

LaTeX

$$B(p,q)=\int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)(p,q>0)。比如 B(5/2,3/2)=Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(4)=π/16。

两条路都从把 Γ(p)Γ(q) 写成一个二重积分开始:一条用 x=uv、y=u(1−v) 换元,一条先令 t=x² 再换极坐标。第二条顺带给出高斯矩公式和 Wallis 型的三角积分。

用到:交换积分次序、变量替换与雅可比。

第 1 步 两个一元积分的乘积就是一个二重积分(这里取 p=2,q=3 核对,Γ(2)Γ(3)=2)(✓ 已数值核对)

LaTeX

$$\Gamma(p)\Gamma(q)=\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty x^{p-1}y^{q-1}e^{-(x+y)}\,dx\,dy$$

第 2 步 u∈(0,∞),v∈(0,1) 一一对应第一象限;行列式 v·(−u)−u·(1−v)=−u(✓ 已数值核对)

LaTeX

$$x=uv,\ y=u(1-v),\qquad \Bigl|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigr|=u$$

第 3 步 (uv)^{p−1}(u(1−v))^{q−1}·u = u^{p+q−1}·v^{p−1}(1−v)^{q−1},指数只剩 e^{−u},两个变量分开(✓ 已数值核对)

LaTeX

$$\Gamma(p)\Gamma(q)=\int_0^\infty u^{p+q-1}e^{-u}\,du\int_0^1 v^{p-1}(1-v)^{q-1}\,dv$$

第 4 步 两个因子分别是 Γ(p+q) 和 B(p,q);p=2,q=3 时 24·(1/12)=2(✓ 已数值核对)

LaTeX

$$\Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)\,B(p,q)$$

用到:换元、交换积分次序、极坐标。

第 1 步 令 t=ax²;取 a=1、m=2p−1 就是右边(✓ 已数值核对)

LaTeX

$$\int_0^\infty x^m e^{-ax^2}\,dx=\frac12a^{-\frac{m+1}2}\Gamma\Bigl(\frac{m+1}2\Bigr),\qquad \Gamma(p)=2\int_0^\infty r^{2p-1}e^{-r^2}\,dr$$

第 2 步 两个这样的积分相乘(p=2,q=3 核对,结果是 2)(✓ 已数值核对)

LaTeX

$$\Gamma(p)\Gamma(q)=4\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty x^{2p-1}y^{2q-1}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$

第 3 步 x=r cos θ,y=r sin θ,面积元 r dr dθ;半径和角度分开,第一个因子是 Γ(p+q)(✓ 已数值核对)

LaTeX

$$=\Bigl(2\int_0^\infty r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}dr\Bigr)\Bigl(2\int_0^{\pi/2}\cos^{2p-1}\theta\,\sin^{2q-1}\theta\,d\theta\Bigr)$$

第 4 步 令 t=cos²θ,dt=−2cos θ sin θ dθ;p=5/2,q=3/2 时两边都是 π/16(✓ 已数值核对)

LaTeX

$$2\int_0^{\pi/2}\cos^{2p-1}\theta\,\sin^{2q-1}\theta\,d\theta=B(p,q)$$

推导由 AI 起草。构建时跑了 9 个数值核对,9 个通过;每一步都有核对。

~
~
~
~

"知识库/beta-gamma.json" [只读] 60L · :q 退出