反常积分、特殊函数与参数方法

这章把分散的对数正弦积分、Dirichlet 积分、Gamma/Beta 函数、Frullani 公式及若干积分综合题连成处理困难积分的共同工具链。

1. 先问积分是否存在

对无穷区间，

对有限端点的奇点也应单侧取极限。若使用交换求和与积分、交换重积分次序、参数求导，均需相应的收敛或一致控制条件。

2. 对数正弦积分

$\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)\,dx=-\frac\pi2\ln2$：对数在端点发散，积分依然收敛。对称配对和余弦级数两种证法、不定积分为什么是 Clausen 函数，见 对数正弦积分。

3. Dirichlet 积分：给振荡函数增加衰减

$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac\pi2$ 只是条件收敛，要先把振荡压下去：乘上 $e^{-ax}$ 后对 $a$ 求导，分母的 $x$ 就被约掉，推导和 $a\to0$ 的极限论证见 狄利克雷积分；积化和差后得到的矩形窗见 阶梯型狄利克雷积分。

4. Gamma 与 Beta 函数

$\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt$ 把阶乘推广到连续参数,推导和半整数的值见 Γ 函数;$B(p,q)=\Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)$ 的两种证法、高斯矩公式 $\int_0^\infty x^me^{-ax^2}dx$ 见 Beta 函数。

5. Frullani 公式

$\int_0^\infty\frac{f(ax)-f(bx)}x\,dx=\bigl(f(0)-f(\infty)\bigr)\ln\frac ba$：两个各自发散的积分，差却是一个对数。截断换元和交换次序两种证法见 Frullani 公式。

6. 含绝对值的振荡积分：总变差

$\int|f'(x)|\,dx$ 是曲线上下走过的总路程，正负不再抵消，要按周期数而不是套原函数。例子见 cos(ln x) 的总变差。