知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
对数正弦积分
ln(sin x) 在 0 处趋于 −∞,可它在 [0,π/2] 上的面积是一个干净的数。是多少?
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$$\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)\,dx = -\frac\pi2\ln2$$
∫₀^{π/2} ln(sin x) dx = −(π/2)ln 2,∫₀^π ln(sin x) dx = −π ln 2。端点处对数发散,积分照样收敛。
有哪些证法
两条路:一条用 x→π/2−x 把 sin 配成 cos,二倍角让原积分在右边重新出现,解一个一次方程;另一条把 ln(2 sin x) 展成余弦级数 −Σcos(2kx)/k,每一项在 [0,π/2] 上积分都是 0。第二条顺带给出不定积分:∫ln(2 sin t)dt = −½Cl₂(2x),Clausen 函数,不是初等函数——定积分容易,不定积分反而做不出来。
- 对称配对,二倍角让原积分重现:I 和 ∫ln cos 相等,加起来是 ∫ln(½ sin 2x),换元后又是 I
- 展开成余弦级数逐项积分:ln(2 sin x) = −Σ cos(2kx)/k,每一项在 [0,π/2] 上积分为 0
对称配对,二倍角让原积分重现
用到:区域对称、换元。
第 1 步 换元 x→π/2−x(✓ 已数值核对)
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$$I=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)\,dx=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos x)\,dx$$
第 2 步 两式相加,sin x cos x = ½ sin 2x(✓ 已数值核对)
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$$2I=\int_0^{\pi/2}\ln\Bigl(\frac{\sin 2x}{2}\Bigr)dx=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin 2x)\,dx-\frac\pi2\ln2$$
第 3 步 u=2x,再用 sin 关于 π/2 对称,[0,π] 上的积分是 [0,π/2] 上的两倍(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^{\pi/2}\ln(\sin 2x)\,dx=\frac12\int_0^{\pi}\ln(\sin u)\,du=I$$
第 4 步 解一次方程(✓ 已数值核对)
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$$2I=I-\frac\pi2\ln2\ \Rightarrow\ I=-\frac\pi2\ln2$$
⚠ 移项之前要知道 I 是有限数:0<x≤π/2 时 sin x ≥ 2x/π,所以 |ln sin x| ≤ |ln(2x/π)|,后者可积。
展开成余弦级数逐项积分
用到:对数的幂级数、傅里叶级数、逐项积分。
第 1 步 ln|1−e^{2ix}| = −Σe^{2ikx}/k 取实部,|1−e^{2ix}| = 2 sin x(✓ 已数值核对)
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$$\ln(2\sin x)=-\sum_{k\ge1}\frac{\cos 2kx}{k}\quad(0<x<\pi)$$
⚠ 在 |z|=1、z≠1 处 −ln(1−z) 的级数条件收敛(Abel 定理),所以展开在 0<x<π 内逐点成立。
第 2 步 逐项积分,cos(2kt) 积出 sin(2kx)/(2k)(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^{x}\ln(2\sin t)\,dt=-\frac12\sum_{k\ge1}\frac{\sin 2kx}{k^2}=-\frac12\operatorname{Cl}_2(2x)$$
⚠ 积出来的级数 Σ sin(2kx)/k² 绝对一致收敛;逐项积分可以通过部分和的 L² 收敛(Parseval)说明。
第 3 步 x=π/2 时每一项 sin(kπ)=0;再减去 ∫ln2 = (π/2)ln2(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^{\pi/2}\ln(2\sin x)\,dx=-\frac12\operatorname{Cl}_2(\pi)=0\ \Rightarrow\ I=-\frac\pi2\ln2$$
用到它的地方
- 讲义 反常积分、特殊函数与参数方法
- 知识库 傅里叶级数
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 12 个数值核对,12 个通过;每一步都有核对。