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傅里叶级数
为什么频率是离散的
设 $f(t+T)=f(t)$,基本角频率 $\omega_0=2\pi/T$。复指数 $e^{i\omega t}$ 要满足同样的周期,需要 $e^{i\omega T}=1$,于是
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$$\omega=n\omega_0,\qquad n\in\mathbb Z.$$
周期性把连续的候选频率限制成了一串离散的谐波。
展开与系数
在适当的可积和收敛条件下
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$$f(t)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega_0t}.$$
复指数两两正交:
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$$\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}e^{i(n-m)\omega_0t}\,dt=\begin{cases}1&n=m,\\0&n\ne m,\end{cases}$$
所以乘上 $e^{-in\omega_0t}$ 积一个周期,就把第 $n$ 个系数单独取出来:
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$$c_n=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega_0t}\,dt,$$
$t_0$ 随便选,只要积满一个周期。
在什么意义下相等
- 分段光滑的函数:在连续点收敛到函数值,在跳跃点收敛到左右极限的平均;
- 一般的 $L^2$ 函数:只在均方意义下收敛,不能当成逐点相等。
和 Fourier 变换的关系
级数的系数 $c_n$ 是周期信号的谱线;Fourier 变换描述非周期信号的连续频谱。周期函数的 Fourier 变换要在分布意义下理解成一串冲激(约定 $\widehat f(\omega)=\int f(t)e^{-i\omega t}dt$):
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$$\widehat f(\omega)=2\pi\sum_{n\in\mathbb Z}c_n\,\delta(\omega-n\omega_0).$$
实数形式与正交基
$2\pi$ 周期的函数也常写成
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$$f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr),
\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=0\ (n\ne m).$$
这和向量沿一组正交基分解是一回事,只是空间换成了函数空间 $L^2[-\pi,\pi]$。系数的平方和等于函数的「能量」(Parseval)。
两个常见的三角级数
$0<x<2\pi$ 时
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$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}n=\frac{\pi-x}{2},\qquad
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}n=-\ln\Bigl(2\sin\frac x2\Bigr).$$
可以由傅里叶展开、Abel 极限、或 $-\ln(1-e^{ix})$ 的实部虚部得到。第二个就是 对数正弦积分 的出发点。
用傅里叶级数算经典的级数和(比如 ζ(2)),见 巴塞尔问题。
用到它的地方
- 知识库 对级数可以做哪些运算
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。