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对级数可以做哪些运算
一个陌生的级数通常不用直接求和,先换一种表达方式。
| 操作 | 典型动作 | 把题目变成什么 |
|---|---|---|
| 裂项 | $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ | 望远镜求和 |
| 对参数求导 | 对 $\sum x^n$ 求导 | 产生 $n,n^2,\ldots$ 权重,见 几何级数 |
| 对参数积分 | 积分 $\sum x^n$ | 产生 $1/n,1/n^2,\ldots$,见 多重对数函数 |
| 交换求和 | $\sum_n\sum_{k\le n}\to\sum_k\sum_{n\ge k}$ | 调和数的嵌套和,见 欧拉和 |
| 重新分组 | 按奇偶、同余类拆 | ζ、η、β、L 函数,见 Dirichlet η 与 β 函数 |
| 正交展开 | 用 Fourier 系数表示函数 | 系数平方和对应积分,见 傅里叶级数 |
| 生成函数 | $a_n\to\sum a_nx^n$ | 递推变方程,见 生成函数 |
| 取对数 | $\log\prod a_n=\sum\log a_n$ | 无穷乘积变级数,见 正弦的无穷乘积 |
| 和积分比较 | $\sum f(n)\leftrightarrow\int f$ | 判断收敛、渐近展开,见 p 级数、Euler–Maclaurin 公式 |
合法性
无穷求和不是有限求和。逐项求导、积分、换序、重排、取边界值,都要有理由:
- 幂级数在收敛圆盘内部可以逐项求导、积分;
- 非负项的双重级数可以换序(Tonelli);绝对收敛也够;
- 条件收敛的级数不能随便重排,黎曼重排定理说重排可以得到任何和;
- 把 $x\to1$ 代进幂级数,要单独讨论端点收敛,或者用 Abel 定理。
看外观认结构
| 特征 | 先想到 | 工具 |
|---|---|---|
| $x^n,\ nx^n,\ n^2x^n$ | 几何级数 | 对参数求导 |
| $x^n/n,\ x^n/n^2$ | 积分出来的倒数 | 对数、Polylogarithm |
| $1/n^p$ | 幂律衰减 | p 级数、ζ 函数 |
| $1/[n(\ln n)^p]$ | 临界衰减 | 积分判别、凝聚法 |
| $(-1)^n/n^p$ | 交错 | Leibniz 判别、η 函数 |
| 奇数分母加交错符号 | Dirichlet β | $\beta(s)$、Catalan 常数 |
| $H_n$ | 嵌套求和 | 换序、生成函数 |
| $\sin nx,\ \cos nx$ | 正交基 | Fourier 展开、Parseval |
| $\binom nk$ | 计数 | 二项式定理、Vandermonde |
| $\sum a_ka_{n-k}$ | 卷积 | 生成函数 |
| $\sum k^m$ | 多项式有限和 | 差分、Bernoulli 数 |
| $n$ 很大的 $\sum f(k)$ | 要近似,不要精确和 | 积分、Euler–Maclaurin |
| $\prod(1-x^2/n^2)$ | 正弦的零点 | 无穷乘积 |
| $\prod(1-x^n)^{-1}$ | 整数分拆 | q 级数 |
| $\sum\lambda_n^{-s}$ | 特征值 | 谱 ζ 函数 |
遇到陌生的求和,先问「它是哪个结构的系数、积分、导数、特征值之和、或生成函数」,再问怎么算。
用到它的地方
- 知识库 欧拉和
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。