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几何级数及其求导
从有限和来
$S_N=1+x+\cdots+x^N$,$(1-x)S_N=1-x^{N+1}$,所以 $S_N=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}$。$|x|<1$ 时 $x^{N+1}\to0$:
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$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x}.$$
它不只是一个求和公式,而是把无穷数列封装成一个函数的起点(生成函数)。
求导产生多项式权重
收敛圆盘内逐项求导(再乘 $x$):
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$$\sum_{n\ge1}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2},\qquad \sum_{n\ge1}n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}.$$
代入 $x=1/2$:$\sum n/2^n=2$,$\sum n^2/2^n=6$。积分则产生 $1/n$ 的权重,见 多重对数函数。
在概率里:生成函数算矩
非负整数随机变量 $X$ 的概率生成函数
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$$G_X(z)=\mathbb E[z^X]=\sum_{n\ge0}P(X=n)z^n,
\qquad G_X'(1^-)=\mathbb E[X],\quad G_X''(1^-)=\mathbb E[X(X-1)].$$
几何分布 $P(X=n)=(1-p)^{n-1}p$($n\ge1$):$G_X(z)=\dfrac{pz}{1-(1-p)z}$,求导得 $\mathbb E[X]=1/p$。几何级数的求导技巧,在概率里直接就是算矩的方法。集券问题 用的就是这个期望。
用到它的地方
- 知识库 集券问题
- 知识库 生成函数
- 知识库 多重对数函数
- 知识库 对级数可以做哪些运算
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。