知识库
多重对数函数
几何级数 从 0 积到 $x$:
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$$-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n},\qquad |x|<1.$$
继续积分,分母的次数一次次升高。定义
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$$\operatorname{Li}_s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^s}\qquad(|x|<1),$$
于是 $\operatorname{Li}_0(x)=\frac{x}{1-x}$,$\operatorname{Li}_1(x)=-\ln(1-x)$,而且
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$$\frac{d}{dx}\operatorname{Li}_s(x)=\frac{\operatorname{Li}_{s-1}(x)}{x},\qquad
\operatorname{Li}_{s+1}(x)=\int_0^x\frac{\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,dt.$$
$s>1$ 时可以取 $x=1$:$\operatorname{Li}_s(1)=\zeta(s)$,所以 $\operatorname{Li}_2(1)=\pi^2/6$(巴塞尔问题),$\operatorname{Li}_3(1)=\zeta(3)$。
几何级数 → 对数 → 多重对数 → 黎曼 ζ 函数。玻色–爱因斯坦统计里也会出现它。
用到它的地方
- 知识库 几何级数及其求导
- 知识库 对级数可以做哪些运算
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。