知识库
黎曼 ζ 函数与欧拉乘积
定义和特殊值
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$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s},\qquad\operatorname{Re}s>1.$$
$\zeta(2)=\pi^2/6$(巴塞尔问题),$\zeta(4)=\pi^4/90$,$\zeta(6)=\pi^6/945$。所有正偶数点
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$$\zeta(2m)=(-1)^{m+1}\frac{B_{2m}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!},$$
$B_{2m}$ 是 Bernoulli 数。奇数点不一样:$\zeta(3)\approx1.2020569$(Apéry 常数)已知是无理数,但不知道有没有简单的 $\pi$ 幂表达式。
欧拉乘积
对每个素数 $p$,$\frac1{1-p^{-s}}=1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots$。把所有素数的因子乘起来展开,由唯一分解定理,每个正整数恰好出现一次:
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$$\zeta(s)=\prod_{p\ \text{素数}}\frac1{1-p^{-s}},\qquad\operatorname{Re}s>1.$$
左边是对全体正整数的加法,右边是由素数搭出的乘法结构——解析数论最根本的桥。
对 s 求导
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$$\zeta'(s)=-\sum_{n\ge1}\frac{\ln n}{n^s},\qquad \zeta''(s)=\sum_{n\ge1}\frac{(\ln n)^2}{n^s}.$$
题目里 $n^{-s}$ 和 $\ln n$ 一起出现,就想对参数求导。
更深的方向
- 解析延拓:ζ 延拓成全平面上只在 $s=1$ 有一个单极点的亚纯函数;
- 函数方程:Theta 函数 $\theta(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-\pi n^2t}$ 由 Poisson 求和满足 $\theta(t)=t^{-1/2}\theta(1/t)$,再做 Mellin 变换就得到 ζ 的函数方程,一路通到模形式;
- 黎曼猜想:非平凡零点的实部是否都是 $1/2$;
- Dirichlet L 函数与同余类里的素数分布,见 Dirichlet η 与 β 函数;
- 谱 ζ 函数:把算子的特征值做成 $\sum\lambda_n^{-s}$,巴塞尔问题就是一个例子(见巴塞尔问题的 Green 函数证法)。
几何级数 → 多重对数 → ζ 函数 → 欧拉乘积 → 解析延拓 → L 函数与素数分布。
用到它的地方
- 知识库 Dirichlet η 与 β 函数
- 知识库 多重对数函数
- 知识库 幂和与 Bernoulli 数
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。