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幂和与 Bernoulli 数
幂和
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$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2,\qquad
\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\qquad
\sum_{k=1}^{n}k^3=\Bigl(\frac{n(n+1)}2\Bigr)^2.$$
对任何 $m\ge0$,$\sum_{k=1}^nk^m$ 都是 $n$ 的 $m+1$ 次多项式:找一个 $m+1$ 次多项式 $g$ 使 $g(k+1)-g(k)=k^m$,再 望远镜求和。统一的写法是 Faulhaber 公式,系数里是 Bernoulli 数。
Bernoulli 数
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$$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{n\ge0}B_n\frac{t^n}{n!}:\qquad
B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_4=-\tfrac1{30},\ B_6=\tfrac1{42},$$
奇数下标(除 $B_1$)都是 0。它们同时出现在幂和、ζ 函数的偶数点、Euler–Maclaurin 公式 和数值分析里。
用到它的地方
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。