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Euler–Maclaurin 公式与 Stirling 公式
$a,b$ 是整数,$f$ 足够光滑:
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$$\sum_{k=a}^{b}f(k)=\int_a^b f(x)\,dx+\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{r=1}^{m}\frac{B_{2r}}{(2r)!}\Bigl[f^{(2r-1)}(b)-f^{(2r-1)}(a)\Bigr]+R_m.$$
$B_{2r}$ 是 Bernoulli 数。只取前几项是近似,带上余项 $R_m$ 是精确的恒等式。这是离散求和与积分之间系统的误差修正。
- $f(x)=x^p$:得到幂和公式;
- $f(x)=1/x$:得到 调和数 的渐近展开;
- $f(x)=\ln x$:$\ln n!=\sum_{k\le n}\ln k$,得到 Stirling 公式
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$$n!\sim\sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac ne\Bigr)^n.$$
阶乘的近似归根结底是一个求和的近似。
什么时候用
题目问「$n\to\infty$ 时 $\sum_{k=1}^nf(k)$ 的主项或误差」,通常不要指望精确求和:先算积分,再补端点和高阶修正。这在数值分析、算法复杂度、概率近似、统计物理、解析数论里都很常见。
用到它的地方
- 知识库 调和数与欧拉常数
- 知识库 幂和与 Bernoulli 数
- 知识库 对级数可以做哪些运算
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。