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调和数与欧拉常数
调和数
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$$H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n\to\infty,\qquad \gamma=\lim_{n\to\infty}(H_n-\ln n)\approx0.5772.$$
$\gamma$ 是 Euler–Mascheroni 常数。更精确地
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$$H_n=\ln n+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}+O(n^{-6}),$$
这串修正项来自 Euler–Maclaurin 公式。方法上的提示:两个都发散的量,恰当地相减,可能留下一个有限而重要的常数(Frullani 公式是另一个例子)。
和 Γ 函数
Γ 函数 的对数导数是 digamma 函数 $\psi(x)=\Gamma'(x)/\Gamma(x)$,有
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$$H_n=\psi(n+1)+\gamma,\qquad \psi'(1)=\zeta(2)=\frac{\pi^2}6.$$
调和数、阶乘、巴塞尔级数在特殊函数里连在一起。
生成函数
$|x|<1$ 时交换求和次序:
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$$\sum_{n\ge1}H_nx^n=\sum_{k\ge1}\frac1k\sum_{n\ge k}x^n=\frac1{1-x}\sum_{k\ge1}\frac{x^k}k=-\frac{\ln(1-x)}{1-x}.$$
乘以 $\frac1{1-x}$ 就是做前缀和——生成函数 的卷积。
用到调和数的地方:集券问题、欧拉和、sin²(nx)/sin x 的积分。
用到它的地方
- 知识库 集券问题
- 知识库 Euler–Maclaurin 公式与 Stirling 公式
- 知识库 生成函数
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。