知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
Γ 函数:阶乘的连续推广
n! 只对整数有定义,能不能把它连成一条光滑的曲线?
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$$\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt,\qquad \Gamma(n+1) = n!$$
Γ(s)=∫₀^∞ t^{s−1}e^{−t}dt 满足 Γ(s+1)=sΓ(s)、Γ(1)=1,所以 Γ(n+1)=n!;它在半整数上也有值,Γ(1/2)=√π。
有哪些证法
两条路:分部积分得到递推再归纳;或者把 ∫e^{−at}dt=1/a 对参数 a 求 n 次导,阶乘自己冒出来。Gamma 分布的归一化常数、Beta 函数、高斯矩都用到它。
- 分部积分,再归纳:分部积分把 Γ(s+1) 变成 sΓ(s),从 Γ(1)=1 一路乘上去
- 对参数求导:∫₀^∞e^{−at}dt=1/a,两边对 a 求 n 次导,左边每次落下一个 −t,右边落下 n!
分部积分,再归纳
用到:分部积分、递推与归纳、换元、高斯积分。
第 1 步 0 附近 t^{s−1} 可积要求 s>0;∞ 处 e^{−t} 压过任何幂。这里在 s=3/2 核对,Γ(3/2)=√π/2(✓ 已数值核对)
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$$\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt\ \text{ 在 } s>0 \text{ 时收敛}$$
第 2 步 对 t^s·e^{−t} 分部积分,边界项在 0 和 ∞ 都是 0(✓ 已数值核对)
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$$\Gamma(s+1)=\bigl[-t^{s}e^{-t}\bigr]_0^\infty+s\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt=s\,\Gamma(s)$$
第 3 步 起点(✓ 已数值核对)
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$$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\,dt=1$$
第 4 步 把递推从 Γ(1) 用 n 次(✓ 已数值核对)
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$$\Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n)=n(n-1)\cdots1\cdot\Gamma(1)=n!$$
第 5 步 令 t=x²,Γ(1/2) 就是高斯积分;再用递推得到其他半整数(✓ 已数值核对)
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$$\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=2\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi,\qquad \Gamma\bigl(\tfrac52\bigr)=\tfrac32\cdot\tfrac12\sqrt\pi=\tfrac{3\sqrt\pi}4$$
对参数求导
用到:含参积分求导。
第 1 步 直接积分(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^\infty e^{-at}\,dt=\frac1a\quad(a>0)$$
第 2 步 对 a 求一次导,积分号下求导(✓ 已数值核对)
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$$-\int_0^\infty t\,e^{-at}\,dt=-\frac1{a^2}$$
⚠ a 在 [a₀/2,∞) 里时,|tⁿe^{−at}| ≤ tⁿe^{−a₀t/2} 可积且与 a 无关,所以每一次都能在积分号下求导。
第 3 步 求 n 次导:左边 (−t)ⁿ,右边 (−1)ⁿn!/a^{n+1}(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^\infty t^n e^{-at}\,dt=\frac{n!}{a^{n+1}}$$
第 4 步 取 a=1(✓ 已数值核对)
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$$\Gamma(n+1)=\int_0^\infty t^n e^{-t}\,dt=n!$$
用到它的地方
- 讲义 反常积分、特殊函数与参数方法
- 知识库 调和数与欧拉常数
- 知识库 正弦的无穷乘积与 Wallis 乘积
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 10 个数值核对,10 个通过;每一步都有核对。