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正弦的无穷乘积与 Wallis 乘积
按零点分解
多项式可以按零点分解:$P(x)=c\prod_j(x-a_j)$。$\sin(\pi x)$ 的零点是所有整数,这启发了
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$$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac{x^2}{n^2}\Bigr).$$
这是一个严格证明过的整函数的乘积表示;一般的无穷乘积不能当作有限的多项式随便处理(欧拉当年就缺了这一步)。比较两边 $x^2$ 的系数就得到 $\zeta(2)=\pi^2/6$,见 巴塞尔问题。
Wallis 乘积
取 $x=1/2$:$\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac2\pi$,所以
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$$\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac1{4n^2}\Bigr)=\frac2\pi,\qquad \prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac\pi2.$$
和 Γ 函数
Γ 函数 也有乘积表示(Weierstrass):
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$$\frac1{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac zn\Bigr)e^{-z/n},$$
把 Γ、欧拉常数 $\gamma$、零点和乘积的收敛连在一起。由它和余元公式 $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin(\pi z)$ 也能重新得到正弦乘积。
函数零点 → Weierstrass 乘积 → 正弦乘积与 Γ → ζ 的特殊值。
用到它的地方
- 知识库 对级数可以做哪些运算
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。