知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
sin²(nx)/sin x 的积分与调和数
∫₀^π sin²(nx)/sin x dx 随 n 怎么增长?
LaTeX
$$I_n=\int_0^\pi\frac{\sin^2(nx)}{\sin x}\,dx = 2H_{2n}-H_n\sim\ln n$$
Iₙ = 2H₂ₙ − Hₙ = ln n + 2ln2 + γ + o(1),所以 Iₙ/ln n → 1。Hₙ 是调和数。
有哪些证法
直接求原函数很难,但相邻两项的差很简单:平方差公式让 Iₙ₊₁ − Iₙ = ∫sin((2n+1)x)dx = 2/(2n+1)。累加得到奇数倒数和,再从调和数里分出来。
- 相邻做差,累加成调和数:sin²A − sin²B = sin(A+B)sin(A−B),取 A=(n+1)x、B=nx
相邻做差,累加成调和数
用到:递推与归纳。
第 1 步 平方差:sin²((n+1)x) − sin²(nx) = sin((2n+1)x) sin x(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$I_{n+1}-I_n=\int_0^\pi\sin((2n+1)x)\,dx=\frac{2}{2n+1}$$
第 2 步 初值 ∫₀^π sin x dx = 2,累加(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$I_1=2\ \Rightarrow\ I_n=2\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{2k+1}$$
第 3 步 奇数项 = 全部 − 偶数项,偶数项 Σ1/(2k) = Hₙ/2(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{2k+1}=H_{2n}-\frac12H_n\ \Rightarrow\ I_n=2H_{2n}-H_n$$
第 4 步 Hₙ = ln n + γ + o(1)(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$I_n=\ln n+2\ln2+\gamma+o(1),\qquad\frac{I_n}{\ln n}\to1$$
用到它的地方
- 知识库 调和数与欧拉常数
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 5 个数值核对,5 个通过;每一步都有核对。