知识库 · 文字讲解,AI 整理
欧拉和
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$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n(n+1)}=\frac{\pi^2}{6},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^2}=2\zeta(3).$$
第一个可以直接证:
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$$\sum_{n\ge1}\frac{H_n}{n(n+1)}=\sum_{n\ge1}\sum_{k=1}^{n}\frac1{k\,n(n+1)}
=\sum_{k\ge1}\frac1k\sum_{n\ge k}\Bigl(\frac1n-\frac1{n+1}\Bigr)
=\sum_{k\ge1}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6.$$
每一步都是 对级数的运算 里的一种:
- 看见 $H_n$,把它展开成内层的和;
- 看见 $\frac1{n(n+1)}$,想到裂项;
- 全是非负项,可以交换求和次序;
- 换序以后内层是 望远镜求和,剩下 $\frac1k$;
- 剩下 $\sum1/k^2$,是 巴塞尔问题。
值得学的是这种「认结构、按顺序变换」,不是记结果。
这类含 $H_n$ 的嵌套求和通向多重 ζ 值
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$$\zeta(s_1,\ldots,s_r)=\sum_{n_1>\cdots>n_r\ge1}\frac1{n_1^{s_1}\cdots n_r^{s_r}}$$
(正整数指标、$s_1\ge2$ 时收敛)。$\sum H_n/n^2=2\zeta(3)$ 就是 $\zeta(2,1)+\zeta(3)$ 加上 $\zeta(2,1)=\zeta(3)$。
用到它的地方
- 知识库 调和数与欧拉常数
- 知识库 对级数可以做哪些运算
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。