知识库
Dirichlet η 与 β 函数
η 函数
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$$\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}.$$
$s>1$ 时按奇偶拆开:偶数项之和是 $2^{-s}\zeta(s)$,所以 $\eta(s)=\zeta(s)-2\cdot2^{-s}\zeta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$。于是 $\eta(2)=\pi^2/12$;$s=1$ 要取极限,$\eta(1)=\ln2$,就是 交错调和级数。
β 函数
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$$\beta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}.$$
$\beta(1)=1-\frac13+\frac15-\cdots=\frac\pi4$(Leibniz 级数,来自 $\arctan$ 的幂级数在 $x=1$ 处),$\beta(2)=G\approx0.9159656$ 是 Catalan 常数,它是不是无理数至今不知道。
Dirichlet L 函数
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$$L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s},$$
$\chi$ 是 Dirichlet 特征(一个以 $q$ 为周期、完全积性的函数)。β 就是模 4 的那个特征。它们用来研究素数在不同同余类里怎么分布,见 黎曼 ζ 函数。
一个相关的数值:奇数平方倒数和 $\sum\frac1{(2n-1)^2}=(1-\frac14)\zeta(2)=\frac{\pi^2}8$。
用到它的地方
- 知识库 黎曼 ζ 函数与欧拉乘积
- 知识库 对级数可以做哪些运算
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。