知识库
交错调和级数
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … 加到无穷,和是多少?
LaTeX
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln2$$
1 − 1/2 + 1/3 − … = ln 2。普通调和级数 Σ1/n 发散,加上交替的符号才收敛,而且只是条件收敛:重排各项可以改变和。
有哪些证法
两条路:一条从 1/(1+x) 的几何级数逐项积分得到 ln(1+x) 的级数,再让 x→1(要用 Abel 定理);另一条反过来,把 1/n 写成 ∫₀¹xⁿ⁻¹dx,有限项先求和再取极限,不用 Abel 定理。
- ln(1+x) 的级数,令 x→1:1/(1+x) = Σ(−x)ⁿ,从 0 积到 x 得 ln(1+x) = Σ(−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n
- 把 1/n 写成积分,有限项先求和:1/n = ∫₀¹xⁿ⁻¹dx,前 N 项的和是 ∫₀¹(1−(−x)ᴺ)/(1+x)dx
ln(1+x) 的级数,令 x→1
用到:几何级数、逐项积分、对数的幂级数。
第 1 步 几何级数(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\frac1{1+x}=\sum_{n\ge0}(-x)^n\quad(|x|<1)$$
第 2 步 从 0 到 x 逐项积分,收敛半径内一致收敛(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\ln(1+x)=\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\quad(|x|<1)$$
第 3 步 级数在 x=1 收敛(交错级数判别法),Abel 定理保证极限可以代进去(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\lim_{x\to1^-}\ln(1+x)=\ln2$$
⚠ Abel 定理:Σaₙ 收敛时,Σaₙxⁿ 在 x→1⁻ 时趋于 Σaₙ。
把 1/n 写成积分,有限项先求和
用到:积分表示、几何级数。
第 1 步 有限项交换求和与积分总是可以的;有限几何级数求和(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\sum_{n=1}^N\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\int_0^1\sum_{n=1}^N(-x)^{n-1}dx=\int_0^1\frac{1-(-x)^N}{1+x}\,dx$$
第 2 步 误差项直接放大(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\Bigl|\int_0^1\frac{(-x)^N}{1+x}dx\Bigr|\le\int_0^1x^Ndx=\frac1{N+1}\to0$$
第 3 步 N→∞(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln2$$
用到它的地方
- 知识库 Dirichlet η 与 β 函数
- 知识库 p 级数与收敛的临界指数
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 7 个数值核对,7 个通过;每一步都有核对。