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p 级数与收敛的临界指数
p 级数
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$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}\quad\text{在 }p>1\text{ 收敛},\ p\le1\text{ 发散}.$$
$p>0$ 时和积分比较:
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$$\int_1^R x^{-p}dx=\begin{cases}\dfrac{R^{1-p}-1}{1-p},&p\ne1,\\[4pt]\ln R,&p=1.\end{cases}$$
临界点 $p=1$ 不是要背的规则,而是积分的增长从有界变成无界的地方。
对数修正
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$$\sum_{n\ge2}\frac1{n(\ln n)^p}\quad\text{在 }p>1\text{ 收敛},\ p\le1\text{ 发散},$$
因为换元 $u=\ln x$ 后 $\int\frac{dx}{x(\ln x)^p}=\int u^{-p}du$。所以 $1/(n\ln n)$ 衰减得还不够快,$1/[n(\ln n)^2]$ 才收敛。再细一层:$\sum\frac1{n\ln n\ln\ln n}$ 发散,$\sum\frac1{n\ln n(\ln\ln n)^2}$ 收敛。这和柯西凝聚判别法有关。
交错的 p 级数
$\sum(-1)^{n-1}/n^p$ 在 $p>0$ 时由 Leibniz 判别法收敛,$p>1$ 时绝对收敛,$0<p\le1$ 时只条件收敛。$p=1$ 是 交错调和级数,和是 $\ln2$,而去掉符号的调和级数发散。
和厚尾分布
若 $P(X=n)\asymp n^{-\alpha}$($\alpha>1$),则 $\mathbb E[X]\asymp\sum n^{1-\alpha}$,只有 $\alpha>2$ 时均值有限:一个随机变量可以几乎必然有限,期望却是无穷。见 厚尾与圣彼得堡悖论。
用到它的地方
- 知识库 对级数可以做哪些运算
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。