厚尾与圣彼得堡悖论

幂律尾

Pareto 型的尾概率

尾指数 $\alpha$ 决定哪些矩存在:以 Pareto 分布为例,$\alpha\le1$ 时期望发散,$\alpha\le2$ 时方差发散。方差无穷时,有限方差版本的 中心极限定理 不能直接套用。

对数正态分布也有长尾,但它不是幂律。「厚尾」描述的是尾部衰减得慢,不能把所有长尾分布都归成同一个尾指数。

圣彼得堡悖论

抛一枚公平硬币直到第一次出现正面;第 $n$ 次才出现,奖金是 $2^n$,概率 $2^{-n}$。期望

可是一半的时候只拿到 2,四分之三的时候不超过 4。期望很大甚至无穷,不代表某一次能拿到大数——要分清长期平均、风险和有限次的实际体验。

用到它的地方

• 知识库 中心极限定理
• 知识库 大数定律
• 知识库 p 级数与收敛的临界指数

核对

这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。