独立同分布、方差有限且为正时,
$$\frac{\sqrt n(\bar X_n-\mu)}{\sigma}\xrightarrow{d}N(0,1).$$
原来的随机变量不必是正态的。CLT 说的是标准化以后的和或均值的极限分布:大数定律 说 $\bar X_n\to\mu$,CLT 说偏离的量级是 $\sigma/\sqrt n$,形状是钟形。置信区间和许多统计推断都建立在这一条上。
方差无穷时有限方差版本的 CLT 不能直接用,见 厚尾与圣彼得堡悖论。
用到它的地方
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。