知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
阶梯型狄利克雷积分
sin x 乘上一个频率为 t 的余弦,再除以 x,积分随 t 怎么变?
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$$I(t)=\int_0^\infty\frac{\sin x\cos tx}{x}\,dx\quad(t\ge0) = \begin{cases}\pi/2&0\le t<1\\\pi/4&t=1\\0&t>1\end{cases}$$
∫₀^∞ sin x cos(tx)/x dx 在 t<1 时是 π/2,t>1 时是 0,t=1 时取中间值 π/4:一个矩形窗。
有哪些证法
积化和差拆成两个狄利克雷积分,频率分别是 1+t 和 1−t;∫sin(bx)/x dx 只看 b 的符号。背后的意思是 sin x/x 的傅里叶变换是矩形:频率在 1 以内的余弦全部「看得见」,超过 1 的全部「看不见」,正好在边界上看见一半。
- 积化和差,拆成两个狄利克雷积分:sin x cos tx = ½[sin((1+t)x) + sin((1−t)x)],每一项换元后都是狄利克雷积分
积化和差,拆成两个狄利克雷积分
用到:换元、狄利克雷积分。
第 1 步 积化和差(✓ 已数值核对)
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$$\sin x\cos tx=\tfrac12\bigl[\sin((1+t)x)+\sin((1-t)x)\bigr]$$
第 2 步 b>0 时换元 u=bx,dx/x 不变;b<0 时提出负号;b=0 时被积函数是 0(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^\infty\frac{\sin bx}{x}\,dx=\frac\pi2\operatorname{sgn}b$$
第 3 步 两项相加;t≥0 时第一项总是 +1,第二项在 t=1 两侧变号(✓ 已数值核对)
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$$I(t)=\frac\pi4\bigl[\operatorname{sgn}(1+t)+\operatorname{sgn}(1-t)\bigr]$$
用到它的地方
- 题卡 ∫₀^∞ sin x / (x(1+x²)) dx:交换积分次序
- 讲义 反常积分、特殊函数与参数方法
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 6 个数值核对,6 个通过;每一步都有核对。