知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
cos(ln x) 的总变差
cos(ln x) 在 x→0 时来回摆无穷多次。把它每一次上下走过的路程加起来,走过 n 圈一共多长?
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$$\int_{e^{-2n\pi}}^{1}\Bigl|\frac{d}{dx}\cos(\ln x)\Bigr|\,dx = 4n$$
∫|f′(x)|dx 是曲线上下走过的总路程(总变差)。对 f(x)=cos(ln x),从 e^{−2nπ} 到 1 一共是 4n。
有哪些证法
换元 t=ln x 把越挤越密的摆动拉成匀速的 |sin t|,每个周期贡献 4。绝对值让正负不再抵消,所以要按周期数,不能套原函数。
- 换元 t = ln x,按周期数:dx/x = dt,积分变成 |sin t| 在 n 个整周期上的积分
换元 t = ln x,按周期数
用到:换元。
第 1 步 链式法则(✓ 已数值核对)
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$$\frac{d}{dx}\cos(\ln x)=-\frac{\sin(\ln x)}{x}$$
第 2 步 t = ln x,dt = dx/x(✓ 已数值核对)
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$$\int_{e^{-2n\pi}}^{1}\frac{|\sin(\ln x)|}{x}\,dx=\int_{-2n\pi}^{0}|\sin t|\,dt$$
第 3 步 |sin t| 以 π 为周期,每半个周期面积是 2(✓ 已数值核对)
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$$\int_{-2n\pi}^{0}|\sin t|\,dt=n\int_0^{2\pi}|\sin t|\,dt=4n$$
用到它的地方
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 4 个数值核对,4 个通过;每一步都有核对。