知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
Frullani 公式
两个单独都发散的积分,相减以后为什么能是一个干净的对数?
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$$\int_0^\infty\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx\quad(a,b>0) = \bigl(f(0)-f(\infty)\bigr)\ln\frac ba$$
只要 f 连续、f(0) 和 f(∞) 都存在,∫₀^∞ [f(ax)−f(bx)]/x dx = (f(0)−f(∞))·ln(b/a)。取 f(t)=e^{−t} 就是 ∫(e^{−ax}−e^{−bx})/x dx = ln(b/a)。
有哪些证法
拆开的两项各自都发散,只有差才有意义。两条路:一条在 [ε,R] 上截断、换元,两项几乎完全抵消,只剩两头各一小段,一段贴着 0 看到 f(0),一段在远处看到 f(∞);另一条把 f(ax)−f(bx) 写成对参数 t 的积分,交换次序。第一条只要 f 连续,第二条要 f 可导且 f′ 不变号。
- 截断到 [ε,R],换元后两项抵消:两项分别换元 u=ax、u=bx,积分区间错开一点,中间整段抵消,只剩两头
- 写成对参数的积分,交换次序:f(ax)−f(bx) = −x∫_a^b f′(tx)dt,除以 x 后交换次序,内层直接积出来
截断到 [ε,R],换元后两项抵消
用到:换元。
第 1 步 两项分别换元 u=ax 和 u=bx,dx/x=du/u 不变;两个区间 [aε,aR] 和 [bε,bR] 的公共部分抵消(✓ 已数值核对)
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$$\int_\varepsilon^R\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx=\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\frac{f(u)}u\,du-\int_{aR}^{bR}\frac{f(u)}u\,du$$
第 2 步 积分中值定理:1/u 不变号,f 连续,所以中间某点 ξ 处的 f 值乘上 ∫du/u = ln(b/a);ε→0 时 ξ→0(✓ 已数值核对)
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$$\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\frac{f(u)}u\,du=f(\xi_\varepsilon)\ln\frac ba\ \xrightarrow{\varepsilon\to0}\ f(0)\ln\frac ba$$
第 3 步 同样用中值定理,η 在 aR 和 bR 之间,R→∞ 时 f(η)→f(∞)(✓ 已数值核对)
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$$\int_{aR}^{bR}\frac{f(u)}u\,du=f(\eta_R)\ln\frac ba\ \xrightarrow{R\to\infty}\ f(\infty)\ln\frac ba$$
第 4 步 两头的极限相减(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^\infty\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx=\bigl(f(0)-f(\infty)\bigr)\ln\frac ba$$
写成对参数的积分,交换次序
用到:积分表示、交换积分次序。
第 1 步 对 t 用微积分基本定理:∂ₜ f(tx) = x f′(tx)(✓ 已数值核对)
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$$\frac{f(ax)-f(bx)}{x}=-\int_a^b f'(tx)\,dt$$
第 2 步 交换积分次序(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^\infty\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx=-\int_a^b\Bigl(\int_0^\infty f'(tx)\,dx\Bigr)dt$$
⚠ f′ 不变号时被积函数在 (0,∞)×[a,b] 上不变号,Tonelli 定理允许换序。
第 3 步 内层换元 u=tx(✓ 已数值核对)
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$$\int_0^\infty f'(tx)\,dx=\frac{f(\infty)-f(0)}{t}$$
第 4 步 外层是 ∫dt/t(✓ 已数值核对)
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$$-\int_a^b\frac{f(\infty)-f(0)}{t}\,dt=\bigl(f(0)-f(\infty)\bigr)\ln\frac ba$$
用到它的地方
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 16 个数值核对,16 个通过;每一步都有核对。