知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
狄利克雷积分
sin x / x 在正半轴上一正一负地摆下去,总面积是多少?
LaTeX
$$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx = \frac\pi2$$
∫₀^∞ sin x/x dx = π/2。被积函数没有初等原函数,积分也只是条件收敛(|sin x|/x 的积分发散),所以要绕一下。
有哪些证法
两条路都是先把 1/x 或振荡「压」下去:一条给被积函数乘上 e^{−ax},对 a 求导变成能直接算的积分,最后让 a→0;另一条把 1/x 写成 ∫e^{−xt}dt,交换积分次序。第二条在有限区间 [0,R] 上做,能写出误差的精确表达式,条件收敛的问题顺便解决了。换元 x→bx 之后就是 ∫sin(bx)/x dx = (π/2)·sgn b。
- 乘上衰减因子,对参数求导:F(a)=∫e^{−ax} sin x/x dx,求导把分母的 x 消掉,剩下的积分两次分部就出来
- 把 1/x 写成积分,交换次序:1/x = ∫₀^∞ e^{−xt} dt,先对 x 积再对 t 积,内层是能算的 e^{−xt} sin x
乘上衰减因子,对参数求导
用到:含参积分求导、分部积分。
第 1 步 对 a 求导,分母的 x 正好被约掉(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$F(a)=\int_0^\infty e^{-ax}\frac{\sin x}{x}\,dx,\qquad F'(a)=-\int_0^\infty e^{-ax}\sin x\,dx\quad(a>0)$$
⚠ 在 a ≥ a₀ > 0 上,|∂ₐ(e^{−ax} sin x/x)| = e^{−ax}|sin x| ≤ e^{−a₀x} 可积,所以可以在积分号下求导。
第 2 步 分部积分两次回到自己,解出来(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\int_0^\infty e^{-ax}\sin x\,dx=\frac{1}{1+a^2}$$
第 3 步 F′=−1/(1+a²) 积出来是 C−arctan a;又 |F(a)| ≤ ∫e^{−ax}dx = 1/a → 0,所以 C=π/2(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$F(a)=\frac\pi2-\arctan a$$
第 4 步 让衰减因子退掉(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=\lim_{a\to0^+}F(a)=\frac\pi2$$
⚠ 要说明极限可以和积分交换。分部积分得 |∫_R^∞ e^{−ax} sin x/x dx| ≤ 2/R,对所有 a ≥ 0 一致成立;于是 |F(a)−F(0)| ≤ |∫₀^R (e^{−ax}−1) sin x/x dx| + 4/R ≤ aR + 4/R,先取 R 大、再取 a 小即可。
把 1/x 写成积分,交换次序
用到:积分表示、交换积分次序、分部积分。
第 1 步 把麻烦的分母写成一个积分(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\frac1x=\int_0^\infty e^{-xt}\,dt\quad(x>0)$$
第 2 步 内层积分,分部两次(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\int_0^R e^{-xt}\sin x\,dx=\frac{1-e^{-Rt}(t\sin R+\cos R)}{1+t^2}$$
第 3 步 在 [0,R]×[0,∞) 上交换次序,再用 ∫₀^∞ dt/(1+t²) = π/2(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\int_0^R\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac\pi2-\int_0^\infty e^{-Rt}\,\frac{t\sin R+\cos R}{1+t^2}\,dt$$
⚠ 在 [0,R]×[0,∞) 上 ∫∫e^{−xt}|sin x| dt dx = ∫₀^R |sin x|/x dx ≤ R,绝对可积,Fubini 定理允许换序。
第 4 步 误差项用 |t sin R + cos R| ≤ t+1 和 1+t² ≥ 1 放大(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\Bigl|\int_0^R\frac{\sin x}{x}\,dx-\frac\pi2\Bigr|\le\int_0^\infty e^{-Rt}(t+1)\,dt=\frac1{R^2}+\frac1R\to0$$
用到它的地方
- 题卡 ∫₀^∞ sin x / (x(1+x²)) dx:拆项
- 题卡 ∫₀^∞ sin x / (x(1+x²)) dx:费曼技巧 · 二阶
- 讲义 反常积分、特殊函数与参数方法
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 14 个数值核对,14 个通过;每一步都有核对。