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最速降线是摆线
时间泛函
物体沿光滑曲线在均匀重力场里从静止下滑,不计摩擦。取向下为 $y>0$,能量守恒给出 $v=\sqrt{2gy}$。弧长元 $ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$,时间元 $dt=ds/v$,总时间
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$$T[y]=\int \sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\,dx.$$
解出来是摆线
$L=\sqrt{(1+y'^2)/(2gy)}$ 不显含 $x$,由 Beltrami 恒等式 得到一阶方程
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$$y(1+y'^2)=\text{常数}.$$
参数代换后得到摆线
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$$x=a(\theta-\sin\theta),\qquad y=a(1-\cos\theta),$$
$a>0$ 由终点决定。直线最短,却不最快:速度随下降的高度增加,先陡降换来速度更划算。
摆线的几何
半径 $a$ 的圆沿直线无滑动地滚,圆上一点画出摆线。
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$$\frac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta),\qquad \frac{dy}{d\theta}=a\sin\theta,\qquad ds=2a\Bigl|\sin\frac\theta2\Bigr|\,d\theta,$$
一拱($0\le\theta\le2\pi$)的弧长是 $8a$——滚动圆周长 $2\pi a$ 的 $4/\pi$ 倍。
用到它的地方
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。