知识库 · 文字讲解,AI 整理
变分法与 Euler–Lagrange 方程
泛函的驻值
普通的优化找一个数 $x$ 使 $f(x)$ 取极值;变分法找一个函数 $y(x)$ 使
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$$J[y]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')\,dx$$
取驻值。端点固定,扰动 $y_\epsilon=y+\epsilon\eta$,$\eta(a)=\eta(b)=0$:
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$$\left.\frac{d}{d\epsilon}J[y_\epsilon]\right|_{\epsilon=0}=\int_a^b\left(L_y\eta+L_{y'}\eta'\right)dx.$$
第二项 分部积分,端点固定所以边界项消失:
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$$\delta J=\int_a^b\left(L_y-\frac{d}{dx}L_{y'}\right)\eta\,dx.$$
对任意 $\eta$ 都要 $\delta J=0$,所以
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$$\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0.$$
这只是驻值的必要条件,不保证是极小。
Beltrami 恒等式
若 $L$ 不显含 $x$,则
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$$L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}=C,$$
相当于已经积了一次分,把二阶方程降成一阶。最速降线 用的就是这一条。
Hamilton 原理
经典力学里定义作用量
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$$S[q]=\int_{t_0}^{t_1}L(q,\dot q,t)\,dt,$$
端点固定时 $\delta S=0$ 给出运动方程。通常叫「最小作用量原理」,准确地说是作用量驻值原理,不一定是全局最小。
解题的路线
物理约束(比如能量守恒)→ 写出沿路径的积分 → 建立泛函 → 求变分 → 用 Euler–Lagrange 或 Beltrami 降阶 → 积分成参数曲线 → 核对端点和物理上是否可行。
用到它的地方
- 讲义 几何投影、拉格朗日乘子与 KKT 约束优化
- 知识库 最速降线是摆线
- 知识库 拉格朗日乘子
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。