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分部积分
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$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$
用在对数、反三角函数、多项式乘指数或三角函数上。选 $u$ 的原则是:求导以后更简单。比如
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$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$
对数和反三角函数($\ln x$、$\arctan x$)求导后变成有理函数,所以通常整体选作 $u$。
两种常见的变形:
- 原积分重新出现:$\int e^x\sin x\,dx$ 分部两次回到自己,解一个一次方程;
- 递推:$\int x^ne^{-x}dx$ 分部一次把 $n$ 降成 $n-1$,一路推到底就是 $n!$(Γ 函数)。
用到它的地方
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。