知识库 · 推导由 AI 起草,每一步构建时数值核对
圆盘上的二次矩
圆盘上 Ax²+Bxy+Cy² 的积分,能不能不展开就写出来?
LaTeX
$$\iint_{x^2+y^2\le R^2}(Ax^2+Bxy+Cy^2)\,dA = \frac{\pi R^4}{4}(A+C)$$
∬_{r≤R}(Ax²+Bxy+Cy²)dA = πR⁴(A+C)/4:交叉项为 0,x² 和 y² 各占 x²+y² 的一半。
有哪些证法
只需要算一个旋转不变的积分 ∬(x²+y²)=πR⁴/2,其余全靠对称:换掉 x、y 的角色,积分不变;把 y 换成 −y,xy 变号。
- 一个极坐标积分,其余靠对称:先算旋转不变的 x²+y²,再用对称把它平分给 x² 和 y²,交叉项因奇对称消失
一个极坐标积分,其余靠对称
用到:极坐标、区域对称。
第 1 步 极坐标下 dA=r\,dr\,d\theta,被积函数只依赖 r(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R r^3\,dr\,d\theta=\frac{\pi R^4}{2}$$
⚠ exact
第 2 步 圆盘关于 y=x 对称,交换 x、y 积分不变,两者相等,和是上一步(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\iint_Dx^2\,dA=\iint_Dy^2\,dA=\frac{\pi R^4}{4}$$
⚠ exact
第 3 步 把 y 换成 −y,区域不变而 xy 变号(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\iint_Dxy\,dA=0$$
⚠ exact
第 4 步 线性组合;核对取 A=2,B=3,C=5(✓ 已数值核对)
LaTeX
$$\iint_D(Ax^2+Bxy+Cy^2)\,dA=\frac{\pi R^4}{4}(A+C)$$
⚠ exact
第 5 步 A=1/a^2,C=1/b^2,B=0 的特例;核对取 a=1,b=2(✓ 已数值核对)
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$$\iint_D\Bigl(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\Bigr)dA=\frac{\pi R^4}{4}\Bigl(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\Bigr)$$
⚠ exact
用到它的地方
核对
推导由 AI 起草。构建时跑了 6 个数值核对,6 个通过;每一步都有核对。