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一阶微分方程:分离变量、积分因子、Bernoulli
分离变量
$y'=p(x)q(y)$ 在 $q(y)\ne0$ 的区间上写成 $dy/q(y)=p(x)\,dx$ 再两边积分。除掉的零点 $q(y_0)=0$ 可能对应常值解 $y\equiv y_0$,要单独检查。
一阶线性方程:积分因子
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$$y'+P(x)y=Q(x).$$
乘上积分因子 $\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$,左边正好是 $(\mu y)'$:
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$$(\mu y)'=\mu Q,\qquad y=\frac{\int \mu(x)Q(x)\,dx+C}{\mu(x)}.$$
Bernoulli 方程
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$$y'+P(x)y=Q(x)y^n,\qquad n\ne0,1.$$
两边除以 $y^n$,令 $z=y^{1-n}$:
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$$z'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x),$$
又是一阶线性方程。要记住的不是代换公式,而是**$y^{-n}y'$ 是 $(y^{1-n})'$ 的常数倍**。
二阶方程降成一阶
- 方程里不显含 $y$:设 $p=y'$,得到关于 $p$ 的一阶方程;
- 方程里不显含 $x$:把 $p$ 看成 $y$ 的函数,用 $y''=p\,\dfrac{dp}{dy}$。
两种都是换自变量或引入中间变量。常系数的二阶方程另有特征根法,见 常系数线性微分方程。
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。