常系数线性微分方程

齐次方程

$ay''+by'+cy=0$。设 $y=e^{rx}$,得到特征方程 $ar^2+br+c=0$:

• 两个不同实根 $r_1,r_2$:$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$;
• 重根 $r$:$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$;
• 共轭复根 $\alpha\pm i\beta$:$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。

非齐次方程

$ay''+by'+cy=g(x)$ 的通解 = 齐次通解 + 一个特解。待定系数法:按 $g$ 的形状猜特解;如果 $g$ 和齐次解重合(共振),猜的式子要再乘上 $x$ 的适当次幂。

Euler–Cauchy 方程

在 $x>0$ 上令 $t=\ln x$,或直接设 $y=x^m$,得到 $m(m-1)+\alpha m+\beta=0$——变系数方程变成了常系数的特征方程。$x<0$ 用 $|x|$ 表示;跨过奇点 $x=0$ 要另外分析。

和线性递推的关系:特征根法与 生成函数 解递推是同一个结构。初值问题也可以用 Laplace 变换 变成代数方程。

用到它的地方

• 知识库 一阶微分方程:分离变量、积分因子、Bernoulli

核对

这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。