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Laplace 变换
定义,和 Fourier 变换的关系
单边 Laplace 变换
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$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt,\qquad s=\sigma+i\omega.$$
一种常见的 Fourier 约定是 $\widehat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt$。两者的核都是指数,但积分区间、收敛条件、物理含义都不同:$s$ 的实部 $\sigma$ 提供指数衰减,让更多的函数可以变换。收敛时沿 $s=i\omega$ 那条线可以和 Fourier 变换联系起来,但单边信号要写成 $f(t)u(t)$,不能把所有 Fourier 变换都写成 $F(i\omega)$。
常用变换对
在各自的收敛半平面上:
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$$\begin{array}{c|c}
f(t)&F(s)\\\hline
1&1/s\\
e^{at}&1/(s-a)\\
\sin(\omega_0t)&\omega_0/(s^2+\omega_0^2)\\
\cos(\omega_0t)&s/(s^2+\omega_0^2)
\end{array}$$
用频移、时移和求导的性质时,要处理好单位阶跃和初值。
解初值问题
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$$\mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),\qquad
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).$$
例:$y'+ay=1,\ y(0)=0$。变换后 $(s+a)Y(s)=1/s$,$Y(s)=\dfrac1{s(s+a)}$。$a\ne0$ 时做 部分分式,逆变换得
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$$y(t)=\frac{1-e^{-at}}a.$$
「求函数」变成了「解代数式」。系统的角度见 传递函数与卷积;离散时间的对应物是 Z 变换。
用到它的地方
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。