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Z 变换与收敛域
Laplace 变换 处理连续时间信号,Z 变换处理离散序列。两者都有收敛域和复平面上的极点,但序列的下标、时移和稳定性条件不一样。
常见的离散信号
单位冲激 $\delta[n]$:$n=0$ 时为 1,其余为 0。单位阶跃 $u[n]$:$n\ge0$ 时为 1,否则为 0。$u[n]-u[n-1]=\delta[n]$。左侧序列 $u[-n-1]$ 在 $n\le-1$ 时为 1,解双边变换时要用到。
双边 Z 变换
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$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}.$$
$x[n]=a^n u[n]$ 时,几何级数求和:
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$$X(z)=\sum_{n=0}^\infty(a z^{-1})^n=\frac{z}{z-a},\qquad |z|>|a|.$$
同一个式子 $\frac{z}{z-a}$,收敛域换成 $|z|<|a|$,对应的却是左侧序列 $-a^nu[-n-1]$。所以代数式加上 ROC 才完整决定一个双边变换。
性质
- 时移:$x[n-k]\leftrightarrow z^{-k}X(z)$;
- 线性:$a x[n]+b y[n]\leftrightarrow aX(z)+bY(z)$。相加时极点可能抵消,ROC 可能变大,不一定恰好是两个 ROC 的交。
单边 Z 变换会把初始条件带进来,时移公式要改,不能和双边的混用。
求逆变换
把 $X(z)$ 写成 $z^{-1}$ 的 部分分式,找出极点,再按 ROC 决定每一项是右侧还是左侧序列。题目给了因果性或稳定性,往往就能定下 ROC。
离散系统与稳定性
线性时不变系统 $Y(z)=H(z)X(z)$,和连续情形的 传递函数 一样。BIBO 稳定的判据是冲激响应绝对可和:$\sum_n|h[n]|<\infty$。ROC 包含单位圆时可以定义频率响应 $H(e^{i\omega})$。有理、因果的系统,稳定的标准条件是极点都严格在单位圆内——对应连续系统的「极点在左半平面」。
差分方程在 Z 域里变成代数方程,就像微分方程在 Laplace 域里一样。
用到它的地方
- 知识库 Laplace 变换
- 知识库 传递函数与卷积
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。