知识库
传递函数与卷积
卷积变成乘法
因果的线性时不变系统,输出是输入和冲激响应 $h$ 的卷积:
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$$y(t)=(h*x)(t)=\int_0^t h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.$$
Laplace 变换 以后 $Y(s)=H(s)X(s)$:时域里的卷积在频域里是乘法。$H(s)$ 叫传递函数,它的极点位置(结合因果性)决定系统稳不稳定、衰减多快、会不会振荡。
例:二阶受迫振动
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$$m y''+c y'+ky=F_0\cos\omega t.$$
变换得
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$$(ms^2+cs+k)Y(s)=F_0\frac{s}{s^2+\omega^2}+m sy(0)+my'(0)+cy(0).$$
解出 $Y(s)$,部分分式拆成极点项,再逐项逆变换。稳态正弦响应的振幅由频率响应决定:$H(s)=1/(ms^2+cs+k)$,
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$$|H(i\omega)|=\frac1{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},$$
相位是 $H(i\omega)$ 的辐角。$c$ 小、$\omega$ 接近 $\sqrt{k/m}$ 时分母接近零,这就是共振。
离散时间系统的同一套东西见 Z 变换。
用到它的地方
- 知识库 Laplace 变换
- 知识库 Z 变换与收敛域
核对
这一条是文字讲解,由 AI 整理,没有可以数值核对的步骤;作者读过后才公开。